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<!DOCTYPE html>

<title>Quadrupol</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Quadrupol</span></h1>

</header>

</div>

<p>Ein <b>Quadrupol</b> entsteht aus der nebenstehend dargestellten Anordnung zweier entgegengesetzt-gleicher elektrischer oder magnetischer <a href="Dipol_(Physik)" title="Dipol (Physik)">Dipole</a> mit beliebigem Abstandsvektor, typischerweise <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/546e6615827e17295718741fd0b86f639a947f16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}}" loading="lazy"></span> genannt.

</p><p>Allgemein kann einer beliebigen <a href="Ladungsverteilung" class="mw-redirect" title="Ladungsverteilung">Ladungs-</a> oder <a href="Elektrischer_Strom" title="Elektrischer Strom">Strom</a>verteilung, sofern sie <i>nicht</i> bestimmte <a href="Symmetrie_(Geometrie)" title="Symmetrie (Geometrie)">Symmetrien</a> besitzt, in zweiter Ordnung ein <a href="Multipolmoment" class="mw-redirect" title="Multipolmoment">Multipolmoment</a> zugeordnet werden. Dazu wird das eigentliche <a href="Potential_(Physik)" title="Potential (Physik)">Potential</a> durch eine <a href="Taylorentwicklung" class="mw-redirect" title="Taylorentwicklung">Taylorentwicklung</a> genähert. Dabei ergibt sich in dieser <a href="Multipolentwicklung" title="Multipolentwicklung">Multipolentwicklung</a> u. a. auch ein <b>Quadrupolmoment</b>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Elektrischer_Quadrupol">Elektrischer Quadrupol</h2></div>

<p>Ein elektrischer Quadrupol kann aus zwei gleich großen positiven und zwei ebensogroßen negativen <a href="Elektrische_Ladung" title="Elektrische Ladung">Ladungen</a> bestehen, die zwei entgegengesetzt-gleiche Dipole bilden. Im einfachsten Fall befinden sich die vier Ladungen in abwechselnder Anordnung an den Ecken eines <a href="Parallelogramm" title="Parallelogramm">Parallelogramms</a> (in der Regel sogar eines <a href="Quadrat" title="Quadrat">Quadrates</a>).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mathematische_Beschreibung">Mathematische Beschreibung</h3></div>

<p>Mathematisch präzise wird die Definition durch einen als „Quadrupol-Limes“ bezeichneten <a href="Grenzwertprozess" class="mw-redirect" title="Grenzwertprozess">Grenzwertprozess</a>, bei dem der Flächeninhalt des Parallelogramms gegen Null <i>konvergiert</i>, während gleichzeitig die Ladungsstärke der an den Ecken des Parallelogramms befindlichen Ladungen <i>divergiert</i>, und zwar so, dass das Produkt konstant bleibt, etwa <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{\lim _{a\to 0;\,a^{2}Q={\text{konst.}}}\dots \}\,,}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<mtext>konst.</mtext>

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{\lim _{a\to 0;\,a^{2}Q={\text{konst.}}}\dots \}\,,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae5335d3dce841b246cdcb7568653584b4d2c3d5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:19.277ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle \{\lim _{a\to 0;\,a^{2}Q={\text{konst.}}}\dots \}\,,}" loading="lazy"></span> wobei die Konstante positiv sein soll.

</p><p>Das Quadrupol<a href="Elektrostatik#Potential_und_Spannung" title="Elektrostatik">potential</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{\text{Q}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{\text{Q}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dd2a4f4d67d184dfa5a1b97cc41df70286731ebc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.896ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi _{\text{Q}}}" loading="lazy"></span> ergibt sich als Überlagerung (<a href="Superposition_(Physik)" title="Superposition (Physik)">Superposition</a>) der Dipolpotentiale <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{\text{D}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{\text{D}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fef452b8436a39570f308e842f67bd92e5fd6260.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.873ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{\text{D}}}" loading="lazy"></span>:

</p>

<mtr>

<mtd>

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</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

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</mrow>

</msup>

</mtd>

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</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{\text{Q}}({\vec {r}})&=\phi _{\text{D}}\left({\vec {r}}+{\dfrac {\vec {a}}{2}}\right)-\phi _{\text{D}}\left({\vec {r}}-{\dfrac {\vec {a}}{2}}\right)\\\ &={\vec {a}}\cdot {\vec {\nabla }}\phi _{\text{D}}({\vec {r}})+{\mathcal {O}}(|{\vec {a}}|^{3})\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5fc47982bc34d0fc944e454c4baa1f8f498d4331.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:38.241ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{\text{Q}}({\vec {r}})&=\phi _{\text{D}}\left({\vec {r}}+{\dfrac {\vec {a}}{2}}\right)-\phi _{\text{D}}\left({\vec {r}}-{\dfrac {\vec {a}}{2}}\right)\\\ &={\vec {a}}\cdot {\vec {\nabla }}\phi _{\text{D}}({\vec {r}})+{\mathcal {O}}(|{\vec {a}}|^{3})\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Beim Übergang zur letzten Gleichung wurden die Taylorentwicklung benutzt und Terme der Größenordnung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |{\vec {a}}|^{3}}">

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |{\vec {a}}|^{3}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545baf2958294f5f98594b516e9a41809a5b7cf4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.578ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle |{\vec {a}}|^{3}}" loading="lazy"></span> vernachlässigt.

</p><p>Aus der Multipolentwicklung erhält man mit dem <a href="Kronecker-Delta" title="Kronecker-Delta">Kronecker-Delta</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta }" loading="lazy"></span> den <i>Quadrupolmoment<a href="Tensor" title="Tensor">tensor</a></i> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy"></span> mit <a href="SI-Einheit" class="mw-redirect" title="SI-Einheit">SI-Einheit</a> <a href="Coulomb" title="Coulomb">C</a>·m²:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q_{kl}=\sum _{i=1}^{n}q_{i}(3r_{ik}\,r_{il}-(r_{i})^{2}\,\delta _{kl})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a1fb62d71a81cf086dc1df8bad78a98d9ac1351.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:31.047ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle Q_{kl}=\sum _{i=1}^{n}q_{i}(3r_{ik}\,r_{il}-(r_{i})^{2}\,\delta _{kl})}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>bzw. für kontinuierliche <a href="Ladungsverteilung" class="mw-redirect" title="Ladungsverteilung">Ladungsverteilungen</a>:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

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</msup>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</msubsup>

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</msup>

<msup>

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</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

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</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q_{kl}=\int \rho ({\vec {r}}\,')\cdot (3r'_{k}\,r'_{l}-(r')^{2}\,\delta _{kl})\cdot \mathrm {d} ^{3}r'}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4d4c5f0f0c983aafb52c175cdd21a5732c6e2b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:39.544ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle Q_{kl}=\int \rho ({\vec {r}}\,')\cdot (3r'_{k}\,r'_{l}-(r')^{2}\,\delta _{kl})\cdot \mathrm {d} ^{3}r'}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Dabei kann man erkennen, dass der Quadrupoltensor symmetrisch und <a href="Spur_(Mathematik)" title="Spur (Mathematik)">spurfrei</a> ist. Aufgrund der Symmetrie sind nur drei von sechs Nichtdiagonalelementen unabhängig, die Spurfreiheit begrenzt die drei Diagonalelemente auf zwei unabhängige. Somit werden die neun Einträge durch fünf Freiheitsgrade eingeschränkt, sodass sich die Berechnung oft abkürzen lässt.

</p><p>Alternativ lässt sich das Potential auch darstellen als:

</p>

<mtr>

<mtd>

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</mrow>

</msub>

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</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

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</mrow>

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</mrow>

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</msub>

</mrow>

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</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{\text{Q}}({\vec {r}})&={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {{\vec {r}}^{T}\cdot Q\cdot {\vec {r}}}{r^{5}}}\\&={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {r_{i}\cdot Q_{ij}\cdot r_{j}}{r^{5}}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0bfe8a20222ea99636dfe36acf4d92910761195.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:26.563ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{\text{Q}}({\vec {r}})&={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {{\vec {r}}^{T}\cdot Q\cdot {\vec {r}}}{r^{5}}}\\&={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {r_{i}\cdot Q_{ij}\cdot r_{j}}{r^{5}}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>wobei

</p>

<ul><li>die <a href="Einsteinsche_Summenkonvention" title="Einsteinsche Summenkonvention">einsteinsche Summenkonvention</a> verwendet wurde und</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{0}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/acb0a8377db20e42274444cb181d51b5532b5844.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.138ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{0}}" loading="lazy"></span> die <a href="Elektrische_Feldkonstante" title="Elektrische Feldkonstante">elektrische Feldkonstante</a> ist.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Quantenmechanik">Quantenmechanik</h3></div>

<p>Elementarteilchen und zusammengesetzte Teilchen (Hadronen, Atomkerne) können nur dann ein elektrisches Quadrupolmoment besitzen, wenn ihr Gesamtspin 1 oder größer ist. Generell sind Multipolmomente 2<sup><i>n</i></sup> nur möglich bei <span style="white-space:nowrap">Spin ≥ <span class="bruch template-frac" style="line-height:0"><sup style="font-size: 70%; vertical-align: 0.4em;"><i>n</i></sup>⁄<sub style="font-size: 70%; vertical-align: 0em;">2</sub></span></span>. Ein magnetisches Quadrupolmoment würde die <a href="Zeitumkehr_(Physik)" title="Zeitumkehr (Physik)">Zeitumkehrinvarianz</a> verletzen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Anwendungen">Anwendungen</h3></div>

<p>In der Praxis wird jede Anordnung von vier abwechselnd gepolten <a href="Elektrode" title="Elektrode">Elektroden</a> verkürzt als „Quadrupol“ bezeichnet, auch wenn sie kein reines Quadrupolfeld erzeugt.

</p><p>Im <a href="Wechselspannung" title="Wechselspannung">Wechselspannungs</a>betrieb lässt diese Anordnung von einem entlang der Achse fliegenden Strahl geladener Teilchen nur Teilchen mit einem bestimmten Verhältnis von Masse zu Ladung durch. Daher wird diese Anordnung in <a href="Quadrupol-Massenspektrometer" title="Quadrupol-Massenspektrometer">Massenspektrometern</a> verwendet.

</p><p>Eine weitere Anwendung eines elektrischen Quadrupols ist der <a href="RFQ-Beschleuniger" class="mw-redirect" title="RFQ-Beschleuniger">Hochfrequenz-Quadrupol-Beschleuniger</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Magnetischer_Quadrupol">Magnetischer Quadrupol</h2></div>

<p>Ein magnetischer Quadrupol besteht im einfachsten Fall aus zwei entgegengesetzt gerichteten <a href="Magnetischer_Dipol" title="Magnetischer Dipol">magnetischen Dipolen</a> im Abstand <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/546e6615827e17295718741fd0b86f639a947f16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Anwendungen:

</p>

<ul><li><a href="Quadrupolmagnet" title="Quadrupolmagnet">Quadrupolmagnet</a>: Fokussierungsmagnet in <a href="Teilchenbeschleuniger" title="Teilchenbeschleuniger">Teilchenbeschleunigern</a> und Teilchen-<a href="Strahlf%C3%BChrung" class="mw-redirect" title="Strahlführung">Strahlführungen</a></li>

<li>selektive Trennung in <a href="Massenspektrometrie" title="Massenspektrometrie">Massenspektrometrie</a>-Systemen</li>

<li>zusammen mit der <a href="Kernspinresonanzspektroskopie" title="Kernspinresonanzspektroskopie">Kernspinresonanzspektroskopie</a>: Aussagen über die lokale Geometrie des <a href="Atomkern" title="Atomkern">Atomkerns</a> in <a href="Festk%C3%B6rper" title="Festkörper">Festkörpern</a>.</li></ul>

<p>Ein sphärisches magnetisches Quadrupolfeld lässt sich zum Beispiel mit einer <a href="Helmholtz-Spule#Anti-Helmholtz-Spule" title="Helmholtz-Spule">Maxwell-Spule</a> erzeugen.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Gravitation">Gravitation</h2></div>

<p>Im Gegensatz zum <a href="Elektromagnetismus" class="mw-redirect" title="Elektromagnetismus">Elektromagnetismus</a> gibt es für die <a href="Gravitation" title="Gravitation">Gravitation</a> nur positive Ladungen, die <a href="Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">Massen</a>. Daher lässt sich ein gravitativer Quadrupol nicht wie oben über zwei Dipole definieren. Dennoch haben <a href="Massenverteilung" title="Massenverteilung">Massenverteilungen</a> ein Quadrupolmoment, beispielsweise die Erde, da sie keine perfekte Kugel ist: Die Abplattung der Erde bedeutet, dass im Vergleich zu einer exakt sphärischen Massenverteilung (reiner Monopol) an den Polen Masse „fehlt“ und am Äquator ein „Überschuss“ vorliegt („Äquatorwulst“). Einige <a href="Himmelsmechanik" title="Himmelsmechanik">himmelsmechanische</a> Phänomene, wie die <a href="Pr%C3%A4zession" title="Präzession">Präzession</a> der Erdachse und die dynamische Entwicklung der <a href="Bahnelemente" class="mw-redirect" title="Bahnelemente">Bahnelemente</a> von Satelliten, lassen sich mit dem daraus resultierenden Quadrupolmoment beschreiben.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Gravitationswellen">Gravitationswellen</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Gravitationswellen" class="mw-redirect" title="Gravitationswellen">Gravitationswellen</a></i></div>

<p>In der Theorie der Gravitationswellen ist der Quadrupol von fundamentaler Bedeutung. Da es keine zeitlich veränderlichen gravitativen Dipole gibt, ist die niedrigste Ordnung von Gravitationswellen eine Quadrupolstrahlung, die in der Form der Ausbreitung der elektromagnetischen Quadrupolstrahlung entspricht.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Höhere_Multipole"><span id="H.C3.B6here_Multipole"></span>Höhere Multipole</h2></div>

<p>Analog können höhere Multipole behandelt werden, sog. <i>Oktupole</i> beispielsweise durch alternierende <a href="Punktladung" title="Punktladung">Punktladungen</a> auf den acht Ecken eines <a href="Parallelepiped" title="Parallelepiped">Parallelepipeds</a>, z. B. eines Würfels der Kantenlänge <i>a</i>, mit dem „Oktupol-Limes“  <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{\lim _{a\to 0;\,a^{3}Q={\text{konst.}}}\dots \}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<mtext>konst.</mtext>

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{\lim _{a\to 0;\,a^{3}Q={\text{konst.}}}\dots \}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b7b31d1bdade03bb963122c3c45599d3a133a8f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:18.243ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle \{\lim _{a\to 0;\,a^{3}Q={\text{konst.}}}\dots \}}" loading="lazy"></span> (oder allgemeiner: ein einziger 2<sup><i>l</i></sup>-Pol wird angenähert durch Überlagerung zweier verschobener 2<sup>(<i>l</i>−1)</sup>-Pole mit entgegengesetztem <a href="Vorzeichen_(Zahl)" title="Vorzeichen (Zahl)">Vorzeichen</a>).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Fachliteratur">Fachliteratur</h2></div>

<ul><li><a href="Horst_St%C3%B6cker" title="Horst Stöcker">Horst Stöcker</a>: <i>Taschenbuch der Physik.</i> 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-8171-1628-4.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"></span></span></div><b><span class=""><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Quadrupoles?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Quadrupoles</a></span></b> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="Dieter_Meschede" title="Dieter Meschede">Dieter Meschede</a>: <cite style="font-style:italic">Optik, Licht und Laser</cite>. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8351-0143-2, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>568</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Quadrupol&rft.au=Dieter+Meschede&rft.btitle=Optik%2C+Licht+und+Laser&rft.date=2008&rft.genre=book&rft.isbn=9783835101432&rft.pages=568&rft.place=Wiesbaden&rft.pub=Vieweg%2BTeubner" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Ulrich E. Schröder: <cite style="font-style:italic">Gravitation: Eine Einführung in die allgemeine Relativitätstheorie</cite>. Harri Deutsch Verlag, Frankfurt am Main 2007, ISBN 978-3-8171-1798-7, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>133</span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=qTC6IpDIUtIC&pg=PA133#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Quadrupol&rft.au=Ulrich+E.+Schr%C3%B6der&rft.btitle=Gravitation%3A+Eine+Einf%C3%BChrung+in+die+allgemeine+Relativit%C3%A4tstheorie&rft.date=2007&rft.genre=book&rft.isbn=9783817117987&rft.pages=133&rft.place=Frankfurt+am+Main&rft.pub=Harri+Deutsch+Verlag" style="display:none"> </span></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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